
\prob{0092}{整数根方程组}

求所有满足
\[ \left\{\begin{aligned}
  a + b + c + d &= 0 \\
  a^3 + b^3 + c^3 + d^3 &= 24
\end{aligned}\right. \]
的无序正整数组$(a, b, c, d)$。
\problabels{yellow/数论, green/代数求值问题}

\ans{$(-4, -4, 3, 5), (-1, -1, -1, 3)$}

\subsection{代入因式分解}

将第一个方程代入第二个方程，得
\[ a^3 + b^3 + c^3 - (a + b + c)^3 = 24 \]
注意到当$a + b = 0$或$b + c = 0$或$c + a = 0$时上式左边为0，故左边有3次因式
\[ (a + b)(b + c)(c + a) \]
注意到左边为3次整式，故
\[ a^3 + b^3 + c^3 - (a + b + c)^3 = k(a + b)(b + c)(c + a) \]
其中$k$为某常数。易知$k = -3$，故
\[ (a + b)(b + c)(c + a) = -8 \]
由于$a + b, b + c, c + a$均为整数，故可以列表枚举$-8$的每一种分解方式。由于$a, b, c$顺序无关，故无需关心分解的顺序。

\begin{table}[htbp]
  \centering
  \begin{tabular}{l*{4}{>{$}c<{$}}}
    \toprule
    分解方式 & a & b & c & d \\ \midrule
    $(-8)\cdot(-1)\cdot(-1)$ & -4   & -4   &  3   &  5   \\
    $(-8)\cdot  1 \cdot  1 $ & -4   & -4   &  5   &  3   \\
    $(-4)\cdot(-2)\cdot(-1)$ & -1.5 & -2.5 &  0.5 &  3.5 \\
    $(-4)\cdot  1 \cdot  2 $ & -1.5 & -2.5 &  3.5 &  0.5 \\
    $(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)$ & -1   & -1   & -1   &  3   \\
    $(-2)\cdot  1 \cdot  4 $ &  0.5 & -2.5 &  3.5 & -1.5 \\
    $(-2)\cdot  2 \cdot  2 $ & -1   & -1   &  3   & -1   \\
    $(-1)\cdot  1 \cdot  8 $ &  3   & -4   &  5   & -4   \\
    $(-1)\cdot  2 \cdot  4 $ &  0.5 & -1.5 &  3.5 & -2.5 \\
    \bottomrule
  \end{tabular}
  \caption{枚举$-8$的每一种分解方式。} \label{tab:0092-factor8}
\end{table}

枚举结果参见表~\ref{tab:0092-factor8}。经整理，只有如下两个无序正整数组：
\[ (-4, -4, 3, 5), (-1, -1, -1, 3) \]
